數列的通項與求和

　　數列是函數概念的繼續和延伸，數列的通項公式及前n項和公式都可以看作項數n的函數，是函數思想在數列中的應用.數列以通項為綱，數列的問題，最終歸結為對數列通項的研究，而數列的前n項和Sn可視為數列{Sn}的通項。通項及求和是數列中最基本也是最重要的問題之一，與數列極限及數學歸納法有著密切的聯系，是成人高考對數列問題考查中的熱點，本點的動態函數觀點解決有關問題，為其提供行之有效的方法.

　　●難點磁場

　　(★★★★★)設{an}是正數組成的數列，其前n項和為Sn，并且對于所有的自然數n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.

　　(1)寫出數列{an}的前3項.

　　(2)求數列{an}的通項公式(寫出推證過程)

　　(3)令bn= (n∈N*)，求 (b1+b2+b3+…+bn-n).

　　●案例探究

　　[例1]已知數列{an}是公差為d的等差數列，數列{bn}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數列，若函數f(x)=(x-1)2，且a1=f(d-1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q-1)，

　　(1)求數列{an}和{bn}的通項公式;

　　(2)設數列{cn}的前n項和為Sn，對一切n∈N*，都有 =an+1成立，求 .

　　命題意圖：本題主要考查等差、等比數列的通項公式及前n項和公式、數列的極限，以及運算能力和綜合分析問題的能力.屬★★★★★級題目.

　　知識依托：本題利用函數思想把題設條件轉化為方程問題非常明顯，而(2)中條件等式的左邊可視為某數列前n項和，實質上是該數列前n項和與數列{an}的關系，借助通項與前n項和的關系求解cn是該條件轉化的突破口.

　　錯解分析：本題兩問環環相扣，(1)問是基礎，但解方程求基本量a1、b1、d、q，計算不準易出錯;(2)問中對條件的正確認識和轉化是關鍵.

　　技巧與方法：本題(1)問運用函數思想轉化為方程問題，思路較為自然，(2)問“借雞生蛋”構造新數列{dn}，運用和與通項的關系求出dn，絲絲入扣.

　　解：(1)∵a1=f(d-1)=(d-2)2，a3=f(d+1)=d2，

　　∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d，

　　∵d=2，∴an=a1+(n-1)d=2(n-1);又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q-1)=(q-2)2，

　　∴ =q2，由q∈R，且q≠1，得q=-2，

　　∴bn=b·qn-1=4·(-2)n-1

　　(2)令 =dn，則d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*),

　　∴dn=an+1-an=2,

　　∴ =2,即cn=2·bn=8·(-2)n-1;∴Sn= [1-(-2)n].