等差數列、等比數列

　　等差、等比數列的性質是等差、等比數列的概念，通項公式，前n項和公式的引申.應用等差等比數列的性質解題，往往可以回避求其首項和公差或公比，使問題得到整體地解決，能夠在運算時達到運算靈活，方便快捷的目的，故一直受到重視.成人高考中也一直重點考查這部分內容。

　　●難點磁場

　　(★★★★★)等差數列{an}的前n項的和為30，前2m項的和為100，求它的前3m項的和為_________.

　　●案例探究

　　[例1]已知函數f(x)= (x<-2).

　　(1)求f(x)的反函數f--1(x);

　　(2)設a1=1, =-f--1(an)(n∈N*),求an;

　　(3)設Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整數m,使得對任意n∈N*,有bn< 成立?若存在，求出m的值;若不存在，說明理由.

　　命題意圖：本題是一道與函數、數列有關的綜合性題目，著重考查學生的邏輯分析能力，屬★★★★★級題目.

　　知識依托：本題融合了反函數，數列遞推公式，等差數列基本問題、數列的和、函數單調性等知識于一爐，結構巧妙，形式新穎，是一道精致的綜合題.

　　錯解分析：本題首問考查反函數，反函數的定義域是原函數的值域，這是一個易錯點，(2)問以數列{ }為橋梁求an,不易突破.

　　技巧與方法：(2)問由式子 得 =4,構造等差數列{ },從而求得an,即“借雞生蛋”是求數列通項的常用技巧;(3)問運用了函數的思想.

　　解：(1)設y= ,∵x<-2,∴x=- ,

　　即y=f--1(x)=- (x>0)

　　(2)∵ ，

　　∴{ }是公差為4的等差數列，

　　∵a1=1, = +4(n-1)=4n-3,∵an>0,∴an= .

　　(3)bn=Sn+1-Sn=an+12= ,由bn< ,得m> ,

　　設g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是減函數，

　　∴g(n)的最大值是g(1)=5,∴m>5,存在最小正整數m=6,使對任意n∈N*有bn< 成立.